學(xué)習(xí)數(shù)字信號處理的訣竅：時(shí)域和頻域的靈活切換

四種傅里葉分析

學(xué)好數(shù)字信號處理的訣竅之三——時(shí)域和頻域的靈活切換

下面首先闡述四種傅里葉分析的特點(diǎn)及意義，引入離散傅里葉變換的概念，然后闡述學(xué)好數(shù)字信號處理的第三個(gè)訣竅，即時(shí)域和頻域的靈活切換。

一、四種傅里葉分析及離散傅里葉變換DFT的引入傅里葉分析是聯(lián)系時(shí)域和頻域的橋梁，在信號處理中具有非常重要的地位。傅里葉分析包含四種不同的形式，即連續(xù)時(shí)間傅里葉級數(shù)（CTFS， Continuous TimeFourier Series）、連續(xù)時(shí)間傅里葉變換（CTFT， ContinuousTime Fourier Transform）、離散時(shí)間傅里葉級數(shù)（DTFS， Discrete Time Fourier Series）和離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT， Discrete Time FourierTransform）。這四種傅里葉分析的對象和得到的結(jié)果有一個(gè)特點(diǎn)：要么在時(shí)域是連續(xù)的（CFS），要么在頻域是連續(xù)的（DTFT），或者在時(shí)域和頻域都是連續(xù)的（CTFT）。DFS雖然在時(shí)域和頻域都是離散的，但是在時(shí)域卻是無限的。計(jì)算機(jī)不能直接處理連續(xù)的信號，只能處理采樣之后的離散數(shù)據(jù)；計(jì)算機(jī)也不能處理無限長的信號，實(shí)際的信號長度都是有限長的。

傅里葉分析的上述四種形式只有理論意義，都不適合采用計(jì)算機(jī)處理。但是，將DTFS和DTFT結(jié)合起來，把有限長序列延拓為周期性離散信號，從而引入了離散傅里葉變換（DFT， Discrete Fourier Transform）的概念，本質(zhì)上，DFT不包含新的理論，只是為了用計(jì)算機(jī)處理的方便而引入的一種工具，利用它計(jì)算離散采樣信號的頻率。將有限長序列進(jìn)行周期延拓后，就能夠計(jì)算其離散傅里葉級數(shù)，其系數(shù)即為未延拓序列的離散傅里葉變換（連續(xù)周期函數(shù)）在頻率軸上的等間隔采樣，這保證了其物理意義，并且是用計(jì)算機(jī)可以實(shí)現(xiàn)的。當(dāng)序列的長度比較大時(shí)，直接計(jì)算DFT的系數(shù)是很復(fù)雜的，如果計(jì)算時(shí)間太長，對實(shí)時(shí)通信就沒有意義，因而有必要引入快速算法，即快速傅里葉變換（FFT， Fast Fourier Transform）。將DFT運(yùn)用于連續(xù)信號的頻譜分析，將產(chǎn)生一系列問題，如頻譜泄露、柵欄效應(yīng)、分辨率等，這些概念在利用DFT進(jìn)行頻譜分析時(shí)需要特別注意。

二、學(xué)好數(shù)字信號處理的訣竅之三——時(shí)域和頻域的靈活切換

前面闡述了學(xué)好數(shù)字信號處理的兩個(gè)訣竅，即MATLAB的運(yùn)用和復(fù)數(shù)與向量的運(yùn)用，下面講第三個(gè)訣竅，即信號在時(shí)域與頻域的靈活切換。

信號有兩個(gè)方面的性質(zhì)，即時(shí)域和頻域，這兩個(gè)方面對于信號來說，正如一個(gè)硬幣的正反兩面，是須臾不能分離的。要學(xué)好數(shù)字信號處理，必須要在信號的時(shí)域和頻域之間進(jìn)行靈活的切換，這種切換的數(shù)學(xué)工具就是傅里葉分析（包括四種形式）。數(shù)學(xué)上有一個(gè)專門的分支，叫做傅里葉分析，數(shù)學(xué)家對傅里葉分析進(jìn)行深入的研究，為工程師們指明了工程開發(fā)的方向，開拓了新的領(lǐng)域。

人是生活在時(shí)間和空間中的，但是人的很多感覺卻是和頻率相關(guān)的，比如人耳能欣賞美妙的音樂，能欣賞美妙的歌喉，因?yàn)楹玫囊魳吩陬l域上更完美，好的“天籟之音”在頻域上更“純凈”。各種不同的樂器在頻域上的區(qū)分是很明顯的，因而有經(jīng)驗(yàn)的音樂人只要一聽某種音樂，就知道是什么樂器演奏的，人耳是億萬年進(jìn)化的高度發(fā)達(dá)的“頻譜分析儀”，能夠?qū)σ魳愤M(jìn)行精密地分析，再加上后天長期的訓(xùn)練，因而能分辨精微的頻率變化。人能欣賞五彩繽紛的世界，能欣賞各種美術(shù)作品，因?yàn)檠劬σ彩莾|萬年進(jìn)化的高度發(fā)達(dá)的“頻譜分析儀”，能感受各種不同頻率的光線。一個(gè)三歲小孩能很容易分辨父母的聲音，這是因?yàn)樾『⒌穆犛X系統(tǒng)經(jīng)歷了幾年聽力“訓(xùn)練”的結(jié)果，而要讓計(jì)算機(jī)分辨某兩個(gè)特定的人，則要經(jīng)歷同樣復(fù)雜的訓(xùn)練，要尋找各種時(shí)域和頻域的特征參數(shù)，還要反復(fù)進(jìn)行效果驗(yàn)證。人通過感知器官，可以迅速地地獲得信號在頻域的幾乎所有信息，而用計(jì)算機(jī)對信號進(jìn)行同樣的處理，就要復(fù)雜得多，必須設(shè)計(jì)各種“算法”對信號進(jìn)行分析。

信號在時(shí)域和頻域需要經(jīng)常來回轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換的橋梁是傅里葉分析，信號處理需要充分挖掘和利用信號在頻域的物理性質(zhì)，因而才成為一門獨(dú)立的學(xué)科。信號處理需要先在時(shí)域觀察信號的特征，再轉(zhuǎn)換到頻域觀察其特征，在頻域進(jìn)行處理之后再轉(zhuǎn)換到時(shí)域觀察其特征，或者在時(shí)域和頻域同時(shí)觀察信號的特征。有時(shí)在時(shí)域雜亂無章的信號，在頻域卻隱藏了很多信息，反之亦然。有的在時(shí)域根本無法處理，必須轉(zhuǎn)換到頻域進(jìn)行處理，之后再回到時(shí)域來感覺一下處理的結(jié)果。學(xué)習(xí)數(shù)字信號處理，需要充分理解信號和系統(tǒng)在頻域的物理意義，并且根據(jù)需要在時(shí)域和頻域來回切換，這是學(xué)習(xí)信號處理的基本思維，而不要將信號在時(shí)域和頻域孤立起來。 下面舉一個(gè)簡單的例子，說明在一個(gè)域中是雜亂的信號，經(jīng)過適當(dāng)?shù)奶幚砗笤诹硪粋€(gè)域中就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律性。比如，下面圖中的信號是時(shí)域的，看起來雜亂無章，沒有任何規(guī)律。

但是，對信號進(jìn)行功率譜分析 （功率譜指平穩(wěn)的功率信號的功率在頻率域的分布情況，功率信號指功率有限的信號），可以明顯看出有兩個(gè)譜峰，一個(gè)在大約30赫茲處，一個(gè)在大約70赫茲處，說明這個(gè)信號里面含有兩個(gè)周期信號，只是這兩個(gè)周期信號隱藏在類似噪聲的信號中，在時(shí)域是看不到這兩個(gè)周期信號的。

上面所說的平穩(wěn)的功率信號，“平穩(wěn)”一詞在信號分析中有很嚴(yán)格的定義，平穩(wěn)包括嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)，有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)學(xué)習(xí)我主講的《隨機(jī)信號分析》，它是《數(shù)字信號處理》的后續(xù)課，后者分析確定信號，前者分析具有隨機(jī)性的信號。隨機(jī)信號的分析要引進(jìn)很多新的概念，如期望、方差、自相關(guān)函數(shù)、寬平穩(wěn)、功率譜、各態(tài)歷經(jīng)等。

原文標(biāo)題：學(xué)好數(shù)字信號處理的訣竅之三——時(shí)域和頻域的靈活切換

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