一、圖像旋轉(zhuǎn)原理

圖像旋轉(zhuǎn)是指圖像按照某個(gè)位置轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度的過(guò)程，旋轉(zhuǎn)中圖像仍保持這原始尺寸。圖像旋轉(zhuǎn)后圖像的水平對(duì)稱軸、垂直對(duì)稱軸及中心坐標(biāo)原點(diǎn)都可能會(huì)發(fā)生變換，因此需要對(duì)圖像旋轉(zhuǎn)中的坐標(biāo)進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)換。

如圖，原圖像經(jīng)過(guò)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度為 θ 后，源圖像的坐標(biāo)為 P0 （ Xo， Yo ） 的點(diǎn)移動(dòng)到了 P1（X1， Y1）。

經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，可以得到上述的 P0 和P1 的坐標(biāo)變換關(guān)系式。

二、MATLAB仿真

方案一、【正向預(yù)設(shè)】從原圖映射到目標(biāo)圖像在此方案中，實(shí)現(xiàn)代碼的方式是正向的思路，將原圖中的像素點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)，然后直接幅值到輸出的圖像中，此方案旨在找到輸入坐標(biāo)與輸出坐標(biāo)之間的代數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系。

在該方法中，首先將原始坐標(biāo)以及目標(biāo)坐標(biāo)放入了極坐標(biāo)中，并且通過(guò)在極坐標(biāo)中的關(guān)系，找到了同時(shí)滿足X0，Y0，X1，Y1四個(gè)參量的方程組，以此來(lái)解出對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)關(guān)系，并以此為基礎(chǔ)得到了輸入與輸出之間的矩陣運(yùn)算關(guān)系如下：

Matlab代碼實(shí)現(xiàn)如下：

clear allclc

% 讀入圖片im = imread（‘1.jpg’）;figure;imshow（im）;

% 求出旋轉(zhuǎn)矩陣a = 40 / 180 * pi;R = ［cos（a）， -sin（a）; sin（a）， cos（a）］;

% 求出圖片大小 ch為通道數(shù) h為高度 w為寬度sz = size（im）;h = sz（1）;w = sz（2）;ch = sz（3）;c = ［h; w］ / 2;

% 初始化結(jié)果圖像im2 = uint8（zeros（h， w， 3））;

for k = 1:ch for i = 1:h for j = 1:w p = ［i; j］; % round為四舍五入 pp = round（R*（p-c）+c）; if （pp（1） 》= 1 && pp（1） 《= h && pp（2） 》= 1 && pp（2） 《= w） im2（pp（1）， pp（2）， k） = im（i， j， k）; end end endend

% 顯示圖像figure;imshow（im2）;

但在實(shí)際的測(cè)試中發(fā)現(xiàn)，這種方法所旋轉(zhuǎn)得到的圖像有著較為嚴(yán)重的失真現(xiàn)象，具體情況如下圖所示：

原圖

旋轉(zhuǎn)后的圖像

很明顯可以看到，在旋轉(zhuǎn)之后這兩張圖片出現(xiàn)了較大的差別，首先是原圖像被裁減了，其次是目標(biāo)圖像中有較多的瑕點(diǎn)（雜點(diǎn)）。究其原因在于，從原圖旋轉(zhuǎn)后得到的目標(biāo)圖像的像素位置在原圖中找不到。另外就是邊緣被裁剪的問(wèn)題，由于在這個(gè)方案中約束了顯示區(qū)域，因此在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，部分像素點(diǎn)就會(huì)由于超出邊界而被裁剪。針對(duì)以上的兩個(gè)問(wèn)題，進(jìn)行了如下改進(jìn)。

方案二、【逆向預(yù)設(shè)】從目標(biāo)圖像映射到原圖

由于在之前的方案中出現(xiàn)了雜點(diǎn)以及圖像邊緣裁剪的問(wèn)題，因此在本方案中，我們采用了逆向思維，用目標(biāo)圖像的坐標(biāo)去與原圖的坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)匹配，若在原圖像中能找到匹配的圖像，就顯示該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)坐標(biāo)，若在原圖中找不到該點(diǎn)，則不顯示該點(diǎn)，通過(guò)這樣就解決了雜點(diǎn)的問(wèn)題。 其中，pp為旋轉(zhuǎn)在后的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)矩陣，在if語(yǔ)句中限定了原圖的區(qū)域，用此區(qū)域則可以到原圖中的坐標(biāo)點(diǎn)，以此來(lái)排除不在區(qū)域中的坐標(biāo)點(diǎn)，這樣就可以解決雜點(diǎn)的問(wèn)題。

在這種方案下，坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：

MATLAB仿真代碼如下：

clear allclc

% 讀入圖片im = imread（‘1.jpg’）;figure;imshow（im）;

% 求出旋轉(zhuǎn)矩陣a = 20 / 180 * pi;R = ［cos（a）， sin（a）; -sin（a）， cos（a）］;

% 求出圖片大小 ch為通道數(shù) h為高度 w為寬度

sz = size（im）;h = sz（1）;w = sz（2）;ch = sz（3）;c = ［w;h］ /2;

% 初始化結(jié)果圖像im2 = uint8（zeros（h， w， 3））;for k = 1:ch %遍歷輸出圖像所有位置的像素 for i = 1:h for j = 1:w p = ［j; i］; % p ：輸出圖像的像素坐標(biāo) % round為四舍五入 pp = round（R*（p-c）+c）; %pp ：對(duì)應(yīng)到輸入圖像的像素坐標(biāo) %逆向進(jìn)行像素的查找 if （pp（1） 》= 1 && pp（1） 《= w && pp（2） 》= 1 && pp（2） 《= h） im2（i， j， k） = im（pp（2）， pp（1）， k）; end end endend

% 顯示圖像figure;imshow（im2）;

這樣，該旋轉(zhuǎn)后的圖像就有了較好的還原度，達(dá)到了相應(yīng)的題目要求，具體的方案的效果如下圖所示：

原圖

旋轉(zhuǎn)后的圖像

如圖所示，相對(duì)方案一而言，圖像的效果就好了很多，但圖像邊緣仍然存在邊緣被切割的現(xiàn)象。 方案三：考慮到未對(duì)旋轉(zhuǎn)后的圖像進(jìn)行顯示區(qū)域的劃分，因此此類旋轉(zhuǎn)只是對(duì)單一像素點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，然后在原圖像的顯示區(qū)域上進(jìn)行坐標(biāo)點(diǎn)的重新組合，得到顯示的圖像。在解決的方法的思路上，采用目標(biāo)顯示區(qū)域的重新劃分來(lái)解決該問(wèn)題。

具體思路是，采用原圖像的長(zhǎng)寬作為基準(zhǔn)，再用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的關(guān)系，將長(zhǎng)和寬轉(zhuǎn)換到旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)系中，得到目標(biāo)圖像在旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)系中的顯示區(qū)域，代碼具體如下：

% 讀入圖片im = imread（‘1.jpg’）;

figure;imshow（im）;

% 求出旋轉(zhuǎn)矩陣a = 30 / 180 * pi;R = ［cos（a）， -sin（a）; sin（a）， cos（a）］;R = R‘; % 求出旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣進(jìn)行逆向查找

% 計(jì)算原圖大小sz = size（im）;h = sz（1）;w = sz（2）;ch = sz（3）;c1 = ［h; w］ / 2;

% 計(jì)算顯示完整圖像需要的畫(huà)布大小hh = floor（w*sin（a）+h*cos（a））+1;ww = floor（w*cos（a）+h*sin（a））+1;c2 = ［hh; ww］ / 2;

% 初始化目標(biāo)畫(huà)布im2 = uint8（ones（hh， ww， 3）*128）;for k = 1:ch for i = 1:hh for j = 1:ww p = ［i; j］; pp = （R*（p-c2）+c1）; mn = floor（pp）; ab = pp - mn; a = ab（1）; b = ab（2）; m = mn（1）; n = mn（2）; % 線性插值方法 if （pp（1） 》= 2 && pp（1） 《= h-1 && pp（2） 》= 2 && pp（2） 《= w-1） im2（i， j， k） = （1-a）*（1-b）*im（m， n， k） + a*（1-b）*im（m+1， n， k）。.. + （1-a）*b*im（m， n， k） + a*b*im（m， n， k）; end end endend

% 顯示圖像figure;imshow（im2）;

這樣，就解決了圖像邊緣被裁剪的問(wèn)題，是整個(gè)圖像得以完整的顯示，實(shí)際的效果如下：

原圖

旋轉(zhuǎn)后的圖像

從圖示的效果可以看出，邊緣區(qū)域被裁剪的問(wèn)題被解決了，但問(wèn)題是圖片加陰影的區(qū)域面積比原圖大很多。 綜合以上三種方案，結(jié)合實(shí)際需求，由于我們的顯示是在一塊固定大小的屏幕上進(jìn)行顯示，整個(gè)圖像的顯示范圍有限，采用CORDIC算法進(jìn)行坐標(biāo)變換產(chǎn)生的延時(shí)太大。最終基于處理速度和資源占用的均衡考慮，最終選擇方案二作為我們圖像旋轉(zhuǎn)的設(shè)計(jì)方案。

三、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)計(jì)算

在該設(shè)計(jì)中，要求圖像擁有0到360的任意角度的旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)變換需要角度的正弦和余弦值。 利用matlab生成正余弦表，并將其擴(kuò)大256倍，打印到文件中。利用得到的正余弦表數(shù)值，將其寫(xiě)入verilog代碼中，生成正余弦查找表。通過(guò)輸入角度值來(lái)索引其正余弦數(shù)值。Matlab生成正余弦列表的代碼如下：

該正弦，余弦通過(guò)MATLAB計(jì)算得到，并預(yù)先儲(chǔ)存到FPGA的片上儲(chǔ)存空間中，在進(jìn)行坐標(biāo)變換時(shí)，讀取對(duì)應(yīng)角度的正弦，余弦值，進(jìn)行坐標(biāo)變換。由于計(jì)算得到的正弦和余弦值為浮點(diǎn)數(shù)，而FPGA擅長(zhǎng)于進(jìn)行整數(shù)運(yùn)算。故要進(jìn)行浮點(diǎn)數(shù)到整數(shù)的轉(zhuǎn)換，具體的實(shí)現(xiàn)方法是，將計(jì)算得到的浮點(diǎn)正弦，余弦值乘上 256 后再取整，計(jì)算得到的結(jié)果于原結(jié)果相比被擴(kuò)大了256倍，而在數(shù)字電路中，除法操作可以用移位來(lái)進(jìn)行。結(jié)果右移8位即等效于除于256 。 坐標(biāo)變換的核心代碼如下：

將坐標(biāo)變換計(jì)算模塊封裝為一個(gè)子模塊，輸入輸出圖像的坐標(biāo)和旋轉(zhuǎn)角度后，即可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的輸入圖像對(duì)應(yīng)的像素的坐標(biāo)。然后讀取該坐標(biāo)的像素值，寫(xiě)入到旋轉(zhuǎn)重建的圖像對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)位置即可。

四、效果展示（Results show）

0、原圖 （正常顯示）

1、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)22度

2、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度

3、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270度

4、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)341度

五、說(shuō)明

在公眾號(hào)對(duì)話框回復(fù) FPGA2019 ，即可獲得該項(xiàng)目的工程源代碼，詳細(xì)的文檔說(shuō)明，MATLAB仿真代碼。
編輯：lyn