用雙線(xiàn)性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器
一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?BR>1、了解兩種工程上最常用的變換方法：脈沖響應(yīng)不變法和雙線(xiàn)性變換法。
2、掌握雙線(xiàn)性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器的原理及具體設(shè)計(jì)方法，熟悉用雙線(xiàn)性設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)低通、帶通和高通IIR數(shù)字濾波器的計(jì)算機(jī)程序。
3、觀察用雙線(xiàn)性變換法設(shè)計(jì)的濾波器的頻域特性，并與脈沖響應(yīng)不變法相比較，了解雙線(xiàn)性變換法的特點(diǎn)。
4、熟悉用雙線(xiàn)性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字Butterworth和Chebyshev濾波器的全過(guò)程。
5、了解多項(xiàng)式乘積和多項(xiàng)式乘方運(yùn)算的計(jì)算機(jī)編程方法。
二、實(shí)驗(yàn)原理與方法
從模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器具有四種方法：微分-差分變換法、脈沖響應(yīng)不變法、雙線(xiàn)性變換法、匹配z變換法；在工程上常用的是其中兩種：脈沖響應(yīng)不變法、雙線(xiàn)性變換法。脈沖響應(yīng)不變法需要經(jīng)歷如下基本步驟：由已知系統(tǒng)傳輸函數(shù)H(s)計(jì)算系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)；對(duì)h(t)進(jìn)行等間隔取樣得到h(n)=h(nT)；由h(n)獲得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)響應(yīng)H(z)。這種方法非常直觀，其算法宗旨是保證所設(shè)計(jì)的IIR濾波器的脈沖響應(yīng)和響應(yīng)模擬濾波器的沖激響應(yīng)在采樣點(diǎn)上完全一致。而雙線(xiàn)性變換法的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與參考模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似。
脈沖響應(yīng)不變法一個(gè)重要的特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線(xiàn)性的（ω=ΩT），其缺點(diǎn)是有頻譜的周期延拓效應(yīng)，存在頻譜混淆的現(xiàn)象。為了克服脈沖響應(yīng)不變法可能產(chǎn)生的頻譜混淆，提出了雙線(xiàn)性變換法，它依靠雙線(xiàn)性變換式：建立起s平面和z平面的單值映射關(guān)系，數(shù)字頻域和模擬頻域之間的關(guān)系：
)2/(ωtg=Ω Ω=arctg2ω （3-1）
由上面的關(guān)系式可知，當(dāng)Ω時(shí)，ω終止在折疊頻率ω=π處，整個(gè)jΩ軸單值地對(duì)應(yīng)于單位圓的一周。因此雙線(xiàn)性變換法不同于脈沖響應(yīng)不變法，不存在頻譜混淆的問(wèn)題。從式（2-1）還可以看出，兩者的頻率不是線(xiàn)性關(guān)系。這種非線(xiàn)性關(guān)系使得通帶截止頻率、過(guò)渡帶的邊緣頻率的相對(duì)位置都發(fā)生了非線(xiàn)性畸變。這種頻率的畸變可以通過(guò)預(yù)畸來(lái)教正。用雙線(xiàn)性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，一般總是先將數(shù)字濾波器的各臨界頻率經(jīng)過(guò)式（2-1）的頻率預(yù)畸，求得相應(yīng)參考模擬濾波器的各臨界頻率，然后設(shè)計(jì)參考模擬濾波器的傳遞參數(shù)，最后通過(guò)雙線(xiàn)性變換式求得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。這樣通過(guò)雙線(xiàn)性變換，正好將這些頻率點(diǎn)映射到我們所需要的位置上。參考模擬濾波器的設(shè)計(jì)，可以按照一般模擬濾波器設(shè)計(jì)的方法，利用已經(jīng)成熟的一整套計(jì)算公式和大量的歸一化設(shè)計(jì)表格和曲線(xiàn)。這些公式、表格主要是用如果于歸一化低通原型的。通過(guò)原型變換，可以完成實(shí)際的低通、帶同和高同濾波器的設(shè)計(jì)。在用雙線(xiàn)性變換法設(shè)計(jì)濾波器的過(guò)程中，我們也可以通過(guò)原型變換，直接求得歸一化參考模擬濾波器原型參數(shù)，從而使得設(shè)計(jì)更加簡(jiǎn)化。下表是IIR低通、帶通、高通濾波器設(shè)計(jì)雙線(xiàn)性原型變換公式的總結(jié)。