《數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)》實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書

⒈目的
計(jì)算機(jī)的應(yīng)用在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中占有重要地位，在為解決實(shí)際問題而建立數(shù)學(xué)模型的過程中、對所建模型的檢驗(yàn)以及大量的數(shù)值計(jì)算中，都必需用到計(jì)算機(jī)?！稊?shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)》的實(shí)驗(yàn)課的目的和任務(wù)是通過實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)并提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力。
⒉實(shí)驗(yàn)任務(wù)分解
通過一些實(shí)例初步掌握建立數(shù)學(xué)模型的方法，實(shí)驗(yàn)任務(wù)可分解為：初等建模，確定性連續(xù)模型，確定性離散模型，隨機(jī)性模型。在各個具體任務(wù)中，練習(xí)運(yùn)用數(shù)值計(jì)算軟件Matlab進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，對問題中的各有關(guān)變量進(jìn)行分析、計(jì)算，給出分析和預(yù)測結(jié)果。
⒊實(shí)驗(yàn)環(huán)境介紹
計(jì)算機(jī)房
⒋實(shí)驗(yàn)時數(shù)
16學(xué)時

實(shí)驗(yàn)一
⒈實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c要求
通過對具體實(shí)例的分析，學(xué)會運(yùn)用初等數(shù)學(xué)建立數(shù)學(xué)模型的方法，掌握Matlab的基本使用方法和Matlab中編程方法及M文件的編寫。
⒉實(shí)驗(yàn)內(nèi)容
初等代數(shù)建模，圖形法建模，靜態(tài)隨機(jī)性模型，量綱分析法建模等。學(xué)習(xí)和練習(xí)數(shù)值計(jì)算軟件Matlab的基本方法。
⒊思考題
1)?在超市購物時你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象了嗎。比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的每支3.00元，二者單位重量的價格比是1.2:1。試用比例方法構(gòu)造模型解釋這個現(xiàn)象。
2)?動物園里的成年熱血動物靠飼養(yǎng)的食物維持體溫基本不變，在一些合理、簡化的假設(shè)下建立動物的飼養(yǎng)食物量與動物的某個尺寸之間的關(guān)系。
3)?原子彈爆炸的速度v與空氣密度?、粘滯系數(shù)?和重力加速度g有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)。用量綱分析方法給出速度v的表達(dá)式。
4)?掌握Matlab的基本使用方法，并試解以下問題：
(1)?至少用3種方法解線性方程組Ax = b，如矩陣除法、求逆矩陣法、矩陣三角分解法等。
(2)?用幾種方法畫簡單函數(shù)的圖形，并練習(xí)：考慮如何畫坐標(biāo)軸;在一個坐標(biāo)系中畫多條函數(shù)曲線; 用subplot畫多幅圖形; 圖上加注各種標(biāo)記等。
(3)?建立M-文件來計(jì)算：自然數(shù)n的階乘; n中取m的組合數(shù); 已知兩個多項(xiàng)式(不一定同階)的系數(shù)，求這兩個多項(xiàng)式的和。

實(shí)驗(yàn)二
⒈實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c要求
通過對具體實(shí)例的分析，學(xué)會運(yùn)用微分方程、變分法等數(shù)學(xué)方法建立確定性連續(xù)模型的方法。
⒉實(shí)驗(yàn)內(nèi)容
微分法建模，微分方程建模，穩(wěn)定性方法建模，變分法建模。學(xué)習(xí)和練習(xí)Matlab在微分方程等連續(xù)性模型中的應(yīng)用。
⒊思考題
1)?在魚塘中投放n0尾魚苗，隨著時間的增長，尾數(shù)將減少而每尾的重量將增加。
(1)?設(shè)尾數(shù)n(t)的(相對)減少率為常數(shù); 由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量的增加率與魚的表面積成正比，由于消耗引起的每尾魚重量的減少率與重量本省成正比。分別建立尾數(shù)和每尾魚重的微分方程，并求解。
(2)?用控制網(wǎng)眼的辦法不捕小魚，到時刻T才開始捕撈，捕撈能力用尾數(shù)的相對減少量 表示，記作E，即單位時間捕獲量是En(t)。問如何選擇T和E，使從T開始的捕獲量最大。
2)? 藥物動力學(xué)中的Michaelis-Menton模型為 表示人體內(nèi)藥物在時刻t的濃度。研究這個方程的解的性質(zhì)。
(1)?對于很多藥物(如可卡因)，a比x(t)大得多，Michailis-Menton方程及其解如何簡化。
(2)?對于另一些藥物(如酒精)，x(t)比a大得多，Michailis-Menton方程及其解如何簡化。
3)? 用Matlab求解以下問題：
(1)?用一臺帶記數(shù)器的錄音機(jī)，實(shí)測一組時間t和轉(zhuǎn)數(shù)n的數(shù)據(jù)，確定模型 中的系數(shù)a, b。
(2)?一橢球的三個半軸分別長4、3、2，求其表面積。
(3)?用歐拉方法和龍格-庫塔方法求解以下微分方程，畫出解的圖形，并將結(jié)果與精確解進(jìn)行比較：
(i)? ，精確解? ;
(ii)? ，
?精確解? 。

實(shí)驗(yàn)三
⒈實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c要求
通過對具體實(shí)例的分析，學(xué)會運(yùn)用差分方程、圖論方法等數(shù)學(xué)方法建立確定性離散模型的方法。
⒉實(shí)驗(yàn)內(nèi)容
差分方程建模，層次分明分析法建模，圖論方法建模，邏輯方法建模。學(xué)習(xí)和練習(xí)Matlab中優(yōu)化工具箱的應(yīng)用。
⒊思考題
1)?用層次分析法解決一兩個實(shí)際問題，例如:
(1)?學(xué)校評選優(yōu)秀學(xué)生或優(yōu)秀班級，試給出若干準(zhǔn)則，構(gòu)造層次結(jié)構(gòu)模型。可分為相對評價和絕對評價兩種情況討論。
(2)?你要購買一臺個人電腦，考慮功能、價格等因素，如何作出決策。
(3)?為大學(xué)畢業(yè)的青年建立一個選擇志愿的層次結(jié)構(gòu)模型。
(4)?你的家鄉(xiāng)準(zhǔn)備集資興辦一座小型飼養(yǎng)場，是養(yǎng)豬，還是養(yǎng)雞、養(yǎng)鴨、養(yǎng)兔，用層次分析法進(jìn)行決策。
2)?食肉動物C、食草動物H和草P組成生態(tài)系統(tǒng)，因?yàn)椴莸赜邢蓿葸^密會使草的成長減慢。用帶符號的有向圖建立這個系統(tǒng)的沖量過程模型，并證明沖量過程是不穩(wěn)定的。
3)?用最小距離意義下的選舉規(guī)則研究投票問題。
(1)?如果以 最小為原則確定選舉結(jié)果p，說明p可以是p1, p2或p3中任一個。
(2)?如果以 最小為原則確定選舉結(jié)果p，說明p：x~y~z。
4)?用Matlab優(yōu)化工具箱解線性和非線性規(guī)劃問題：
(1)?求解線性規(guī)劃
max?? ,
s. t.???? ,
?? ,
?? ,
?? ,
?? ,
?? 。
給出函數(shù)值和起作用約束。
(2)?求解二次規(guī)劃
min?? ,
s. t.??? ,
???

實(shí)驗(yàn)四
⒈實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c要求
通過對具體實(shí)例的分析，學(xué)會運(yùn)用概率分布方法、隨機(jī)過程方法等數(shù)學(xué)方法建立隨機(jī)性模型的方法。
⒉實(shí)驗(yàn)內(nèi)容
概率分布方法建模，馬氏鏈模型，隨機(jī)服務(wù)模型。學(xué)習(xí)和練習(xí)Matlab中的概率統(tǒng)計(jì)工具箱的應(yīng)用。
⒊思考題?
1)?某商店要訂購一批商品零售，設(shè)購進(jìn)價c1，售出價c2，訂購費(fèi)c0(與數(shù)量無關(guān))，隨機(jī)需求量r的概率密度為p(r)，每件商品的貯存費(fèi)為c3(與時間無關(guān))。問如何確定訂購量才能使商店的平均利潤最大，這個平均利潤是多少。為使這個平均利潤為正值，需要對訂購費(fèi)c0加什么限制？
2)?考察一種既不同于指數(shù)模型、也不同于阻滯增長模型的情況：人口為x(t)，最大允許人口為xm，t到 時間內(nèi)人口增長量與 成正比。
(1)?建立確定性模型，將結(jié)果作圖，與指數(shù)模型和阻滯增長模型的結(jié)果進(jìn)行比較。
(2)?作出適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，建立相應(yīng)的隨機(jī)模型，求出人口的期望，并解釋其與(1)中的x(t)在形式上完全一致的意義。
3)?在酶促反應(yīng)中，如果用指數(shù)增長模型 代替Michaelis-Menton模型對經(jīng)過嘌呤霉素處理的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作非線性回歸分析，其結(jié)果將如何。更進(jìn)一步，若選用模型 來擬合相同的數(shù)據(jù)，其結(jié)果是否比指數(shù)增長模型有所改進(jìn)。試作出模型的殘差圖進(jìn)行比較。
4)?Matlab在方差分析和回歸分析中的應(yīng)用：
(1)? 6種農(nóng)藥在相同的條件下進(jìn)行滅蟲試驗(yàn)，結(jié)果如下表(滅蟲率以%計(jì))，問它們的效果有無顯著差異，需要作進(jìn)一步比較嗎。
農(nóng)藥A1?87?85?80??農(nóng)藥A2?90?88?87?94
農(nóng)藥A3?56?62???農(nóng)藥A4?55?48??
農(nóng)藥A5?92?99?95?91?農(nóng)藥A6?75?72?81?
?(2)? 在一丘陵地帶測量高程，x和y方向每隔100米測一個點(diǎn)，得高程如下表，試擬合一曲面，確定合適的模型，并由此找出最高點(diǎn)和該點(diǎn)的高程。
?? x
?y?100?200?300?400
100?636?697?624?478
200?698?712?630?478
300?680?674?598?412
400?662?626?552?334